Algèbre linéaire Exemples

\sqrt{5} + i \sqrt{5}

$\sqrt{5} + i \sqrt{5}$

Étape 1

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où

| z |

$| z |$ est le module et

θ

$θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

z = a + b i = | z | (cos (θ) + i sin (θ))

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 2

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où

z = a + b i

$z = a + b i$

Étape 3

Remplacez les valeurs réelles de

a = \sqrt{5}

$a = \sqrt{5}$ et

b = \sqrt{5}

$b = \sqrt{5}$ .

| z | = \sqrt{{(\sqrt{5})}^{2} + {(\sqrt{5})}^{2}}

$| z | = \sqrt{{(\sqrt{5})}^{2} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Étape 4

Déterminez

| z |

$| z |$ .

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Étape 4.1

Réécrivez

{\sqrt{5}}^{2}

${\sqrt{5}}^{2}$ comme

5

$5$ .

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Étape 4.1.1

Utilisez

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

\sqrt{5}

$\sqrt{5}$ comme

5^{\frac{1}{2}}

$5^{\frac{1}{2}}$ .

| z | = \sqrt{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(\sqrt{5})}^{2}}

$| z | = \sqrt{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Étape 4.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

| z | = \sqrt{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(\sqrt{5})}^{2}}

$| z | = \sqrt{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Étape 4.1.3

Associez

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ et

2

$2$ .

| z | = \sqrt{5^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{5})}^{2}}

$| z | = \sqrt{5^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Étape 4.1.4

Annulez le facteur commun de

2

$2$ .

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Étape 4.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$| z | = \sqrt{5^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Étape 4.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$| z | = \sqrt{5 + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Étape 4.1.5

Évaluez l’exposant.

$| z | = \sqrt{5 + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Étape 4.2

Réécrivez

${\sqrt{5}}^{2}$ comme

$5$ .

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Étape 4.2.1

Utilisez

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

$\sqrt{5}$ comme

$5^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{5 + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{5 + 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.2.3

Associez

$\frac{1}{2}$ et

$2$ .

$| z | = \sqrt{5 + 5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.2.4

Annulez le facteur commun de

$2$ .

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Étape 4.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$| z | = \sqrt{5 + 5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$| z | = \sqrt{5 + 5}$

Étape 4.2.5

Évaluez l’exposant.

$| z | = \sqrt{5 + 5}$

Étape 4.3

Additionnez

$5$ et

$5$ .

$| z | = \sqrt{10}$

Étape 5

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Étape 6

Comme la tangente inverse de

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ produit un angle dans le premier quadrant, la valeur de l’angle est

$\frac{π}{4}$ .

$θ = \frac{π}{4}$

Étape 7

Remplacez les valeurs de

$θ = \frac{π}{4}$ et

$| z | = \sqrt{10}$ .

$\sqrt{10} (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$